Криволинейные интегралы первого рода и поверхностные интегралы первого рода. Теоретический минимум. Слабоалкогольні Напої Реферат. Криволинейные и поверхностные интегралы часто встречаются в физике. Тройные Интегралы Реферат' title='Тройные Интегралы Реферат' />Они бывают двух видов, первый из которых рассматривается здесь. Этоттип интегралов строится согласно общей схеме, по которой вводятся определнные, двойные и тройные интегралы. В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество. Для двойного и тройного интегралов используются также обозначения Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Рассмотрим. Двойных и тройных интегралов с помощью перехода к однократным интегралам, а также с помощью замены переменных при переходе к. Помощь студентам курсовые, рефераты, лабораторные, лекции, конспекты. Понятие тройного а в дальнейшем тмерного интеграла вводится по. Тройные интегралы в цилиндрических координатах. В цилиндрических координатах положение точки Mx,y,z в пространстве Oxyz определяется тремя. Тройной интеграл определение, свойства и основные методы вычисления. Теория и примеры решений. Для решения тройных интегралов применяют. Читать курсовую работу online по теме Приближнное вычисление тройного интеграла. Раздел Математика, 3778, Загружено 21. Коротко напомним эту схему. Имеется некоторый объект, по которому проводится интегрирование одномерный, двумерный или трхмерный. Этот объект разбивается на малые части,в каждой из частей выбирается точка. В каждой из этих точек вычисляется значение подынтегральной функции и умножается на меру той части, которойпринадлежит данная точка длину отрезка, площадь или объм частичной области. Затем все такие произведения суммируются, и выполняется предельный переход к разбиению объекта на бесконечно малые части. Получающийся предел и называется интегралом. Определение криволинейного интеграла первого рода. Интегралы от дробнорациональных функций. Вычисление интеграла разложением функции в ряд middot Как найти частное. Тройные интегралы. Читать реферат online по теме Применение тройных и кратных интегралов. Раздел Математика, Математика, Загружено 06. Рассмотрим функцию, определнную на кривой. Кривая предполагается спрямляемой. Напомним, что это означает, грубо говоря, что в кривую можно вписать ломаную со сколь угодно малыми звеньями, причм в пределе бесконечно большого числа звеньев длина ломаной должна оставаться конечной. Кривая разбивается на частичные дуги длиной и на каждой из дуг выбирается точка. Составляется произведение ,проводится суммирование по всем частичным дугам. Затем осуществляется предельный переход с устремлением длины наибольшей из частичных дуг к нулю. Предел является криволинейным интегралом первого рода. Важной особенностью этого интеграла, прямо следующей из его определения, является независимость от направления интегрирования, т. Определение поверхностного интеграла первого рода. Рассмотрим функцию, определнную на гладкой или кусочно гладкой поверхности. Поверхность разбивается на частичные областис площадями, в каждой такой области выбирается точка. Составляется произведение, проводится суммирование по всем частичным областям. Затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных областей к нулю. Предел является поверхностным интегралом первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи, а фактически следует непосредственно изопределения. Интеграл сводится к определнному, только нужно записать дифференциал дуги кривой, вдоль которой проводится интегрирование. Начнм с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой, заданной явным уравнением. В этом случае дифференциал дуги. Затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной, и интеграл принимает вид,где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой, по которой проводится интегрирование. Очень часто кривая задатся параметрически, т. Тогда дифференциал дуги. Формула эта очень просто обосновывается. По сути, это теорема Пифагора. Дифференциал дуги фактически длина бесконечно малой части кривой. Если кривая гладкая, то е бесконечно малую часть можно считать прямолинейной. Для прямой имеет место соотношение. Чтобы оно выполнялось для малой дуги кривой, следует от конечных приращений перейти к дифференциалам. Если кривая задана параметрически, то дифференциалы просто вычисляются и т. Соответственно, после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом ,где части кривой, по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра. Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда кривая задатся в криволинейных координатах. Этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальнойгеометрии. Приведм формулу для вычисления интеграла вдоль кривой, заданной в полярных координатах уравнением. Приведм обоснование и для дифференциала дуги в полярных координатах. Подробное обсуждение построения координатной сетки полярной системы координатсм. Выделим малую дугу кривой, расположенную по отношению к координатным линиям так, как показано на рис. В силу малости всех фигурирующихдуг снова можно применить теорему Пифагора и записать. Отсюда и следует искомое выражение для дифференциала дуги. С чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять, что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю определнному интегралу. Действительно, выполняя замену, которая диктуется параметризацией кривой, вдоль которой вычисляется интеграл, мы устанавливаемвзаимно однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра. А это и есть сведение к интегралувдоль прямой, совпадающей с координатной осью определнному интегралу. Вычисление поверхностного интеграла первого рода. После предыдущего пункта должно быть ясно, что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода запись элемента поверхности ,по которой выполняется интегрирование. Опять таки начнм с простого случая поверхности, заданной явным уравнением. Тогда. Выполняется замена в подынтегральной функции, и поверхностный интеграл сводится к двойному ,где область плоскости, в которую проектируется часть поверхности, по которой проводится интегрирование. Однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно, и тогда она задатся параметрически, т. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода. Обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом. Пусть имеется некоторая кривая, линейная плотность которой не является константой, а представляет собой функцию точки. Найдм массу этой кривой. Разобьм кривую на множество малых элементов, в пределах которых е плотность можно приближнно считать константой. Если длина маленького кусочка кривой равна, то его масса, где любая точка выбранного кусочка кривой любая, так как плотность в пределахэтого кусочка приближнно предполагается постоянной. Соответственно, масса всей кривой получится суммированием масс отдельных е частей. Чтобы равенство стало точным, следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части, но это и есть криволинейный интеграл первого рода. Аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой, если известна линейная плотность заряда. Эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда. Тогдазаряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода. Замечание. Громоздкая формула для элемента поверхности, заданной параметрически, неудобна для запоминания. Другое выражение получается в дифференциальной геометрии, оно использует т. Найдм выражение для. Вычисляем интеграл Пример 2. Интеграл вдоль кривой на плоскости. Вычислить интегралпо дуге параболы от точки до точки. Заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы. Вычисляем интеграл. Однако можно было проводить вычисления и иначе, пользуясь тем, что кривая задана уравнением, разрешнным относительно переменной. Если принять переменную за параметр, то это приведт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги. Соответственно, интеграл несколько изменится. Этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал. Получится такой же интеграл, как и в первом способе вычисления. Пример 3. Интеграл вдоль кривой на плоскости использование параметризации. Вычислить интегралвдоль верхней половины окружности. Можно, конечно, выразить из уравнения окружности одну из переменных, а затем провести остальные вычисления стандартно. Но можно использовать ипараметрическое задание кривой. Как известно, окружность можно задать уравнениями. Верхней полуокружностиотвечает изменение параметра в пределах. Вычислим дифференциал дуги. Таким образом,Пример 4. Интеграл вдоль кривой на плоскости, заданной в полярных координатах. Вычислить интегралвдоль правого лепестка лемнискаты. На чертеже выше изображена лемниската. Вдоль е правого лепестка нужно проводить интегрирование. Найдм дифференциал дуги для кривой. Следующий шаг определение пределов интегрирования по полярному углу.